اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی
اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی
20 شهریور 1386 مدیر سایت مجموعه اصلی: شگفتی ها وزیبایی های ریاضی مجموعه: فصل اول : زیبایی در اعداد منتشر شده در 20 شهریور 1386 آخرین ویرایش در تاریخ 17 فروردين 1392 تعداد بازدید: 16882
اعداد و دنباله فيبوناچي چه طور اعدادي هستند و از کجا آمده اند؟
موضوعاتي که مانند ِ « اعداد فيبوناچي » در رياضيا نفوذ کرده باشند، زياد نيستند. اعداد فيبوناچي از يکي از کتاب هاي مهم ِ غربي به ما رسيده اند. نام اين کتاب « Liber اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در ميان عواممردم به « فيبوناچي – Fibonacci , 1180-1250 » يا « پسر بوناچي » مشهور است.کتاب فيبوناچي ، اولين کتاب انتشار يافته در اروپا است که از اعداد عربي – هندي استفاده کرده است. اعداد هندي -عربي اعداد 0 تا 10 هستند که مبناي سيستم دهدهي هستند. اين کتاب همچنين موارد و مسائلي در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فيبوناچي از همين مسائل آمده اند.
به يکي از مسائل اين کتاب توجه کنيد :
. « در پايان يک سال چند جفت خرگوش خواهيم داشت اگر : در ابتداي سال يک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشيم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، يک جفت نوزاد توليد کند که نوزادان از ماه اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی دوم توانايي توليد نوزاد دارند . ؟ » .
« دنباله فيبوناچي » از همين مسأله تولد خرگوش به دست مي آيد.
براي حل اين مسأله ، جفت خرگوش هاي بالغ را A مي ناميم . اين جفت ها در پايان هر ماه يک جفت نوزاد، که آن ها را B مي ناميم، توليد مي کنند. نوزادانبعد از يک ماه بالغ مي شوند و يک جفت خرگوش A مي شوند که پس از آن توانايي توليد مثل دارند. به اين ترتيب به الگوي زير دست مي يابيم :
تعداد جفت هاي بالغ در ابتداي هر ماه از « دنباله ي فيبوناچي » پيروي مي کند :
1 ، 1 ، 2 ، اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233
اگر فرض کنيم ، n مين جمله از « دنباله فيبوناچي » باشد آنگاه اين دنباله به صورت زير تعريف مي شود :
به زبان ساده دنباله اعداد فيبوناچي اين گونه است :
دو جمله ي اول اين دنباله برابر با 1 است و از جمله ي سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ي قبل از خودش برابر است.
شايد بپرسيد دنباله ي فيبوناچي جه ويژگي هايي دارد که اين قدر مهم جلوه مي کند ؟
يکي از ويژگي هاي دنباله فيبوناچي ، رابطه ي آن با « نسبت طلايي » است. براي پي بردن به اين مطلب ، نسبت ِ يک جمله از دنباله فيبوناچي را به جمله ي قبل از آن تشکيل مي دهيم. اين کسر ها به « نسبت طلايي » ميل مي کنند :
نسبت طلايي را در فصل چهارم از شگفتي ها و زيبايي هاي رياضي بررسي خواهيم کرد، اما خوب است بدانيد نسبت طلايي را با نمايش مي دهيم و رابطه ي زير نيز بين دنباله ي اعداد فيبوناچي و توان هاي نسبت طلايي برقرار است :
اگر به ضرايب ِ نسبت طلايي در سمت راست تساوي ها دقت کنيم متوجه مي اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی شويم که اين ضرايب هملن اعداد ِ دنباله فيبوناچي هستند و ثابت ها ي جمعي نيز اعداد فيبوناچي هستند که يک جمله ديرتر آمده اند .
باور نکردني است که دو چيز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، اين گونه رابطه ي تنگاتنگي با هم داشته باشند. در اين موارد است که رياضيات شگفت انگيز مي شود .
